Гранично-элементная дискретизация плоских областей в пространстве

 

Алейников С. М., Вахтин А. А.

e-mail: alasmbkb@box.vsi.ru, wishmaster_79@mail.ru

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

Воронежский государственный университет

 

В работе [1] рассмотрен предпроцессор гранично-элементного программного комплекса, который разработан с возможностью модификации при расширении диапазона задач в теории упругости путем добавления новых утилит проектирования. Утилиты проектирования предназначены для геометрического моделирования сложной поверхности расчитываемой конструкции, которая разбивается на гранично-элементную сетку. Гранично-элементная сетка в общем случае представляет собой набор плоских элементов (как правило, четырехугольных и/или треугольных), не имеющих пересечений и перекрытий и полностью покрывающих контактную поверхность конструкции.

Существующие и разрабатываемые утилиты можно разбить на два типа:

1)   утилиты генерации гранично-элементной сетки – утилиты, которые моделируют с заданными параметрами сетку на поверхностях конструкций (например, утилиты генерации гранично-элементной сетки на поверхностях осесимметричных и блочных конструкций [1, 2]);

2)   утилиты редактирования гранично-элементной сетки – утилиты, которые предназначены для редактирования созданной гранично-элементной сетки в диалоговом и интерактивном режиме (например, утилита «редактор многогранников», которая предназначена для добавления, удаления или изменения координат вершин (узлов) геометрического объекта [3]).

Минимальный радиус окружности описанной вокруг граничного элемента будем называть радиусом граничного элемента. Часто при решении контактных задач методом граничных элементов требуется дискретизация поверхности на элементы с малыми радиусами, что характеризует неравномерность сетки [4]. В некоторых утилитах неравномерность сетки задается в процессе проектирования. Но в основном требуется разбиение элементов не всей поверхности, а определенной области (например, в близи углов и ребер расчитываемой конструкции).

Элемент гранично-элементной сетки, который требуется разбить на элементы меньшего радиуса, будем называть граничным макроэлементом, а элементы, полученные в результате дискретизации макроэлемента – микроэлементами [4].

Разбиение четырехугольного граничного макроэлемента производится с помощью изопараметрических элементов. Описание геометрии в плоскости данного макроэлемента получается с использованием интерполяционных формул [4]. Если на стандартном квадрате берется равномерная или сгущающаяся к границе сетка элементов, то линейное изопараметрическое преобразование переведет их в глобальные граничные элементы без нарушения межэлементной непрерывности и с требуемой регулярной нумерацией узлов и вершин.

Интерполяционные формулы для дискретизации треугольных граничных макроэлементов могут быть получены из интерполяционных формул дискретизации четырехугольных с учетом того, что две смежные вершины сливаются в одну. В результате формируется алгоритм дискретизации треугольных граничных макроэлементов, который весьма просто позволяет добиваться необходимой степени густоты гранично-элементной сетки. При разбиении треугольных макроэлементов в качестве вершины сгущения не рекомендуется брать острые углы, так как при дискретизации может появиться большое количество микроэлементов с общей вершиной, площадь которых близка к нулю.

Основная задача при дискретизации произвольного односвязного макроэлемента в пространстве – это разбить макроэлемент на четырехугольные и треугольные макроэлементы, которые, в свою очередь, разбиваются на микроэлементы по алгоритмам, описанным выше. Разбиение макроэлемента на треугольные и четырехугольные элементы основан на алгоритме, предложенным в [5]. Идея заключается в расщеплении плоского макроэлемента вдоль некоторой хорды, а затем в рекурсивном разбиении получившихся двух макроэлементов.

На основе предложенных алгоритмов реализована утилита разбиения выделенных элементов гранично-элементной сетки. Разбиваемые граничные макроэлементы можно выделить в окнах проекции с помощью мыши или задать в пространстве охватывающую область. На рис. 1 показаны результаты гранично-элементной дискретизации.

Практический опыт показывает, что разработанная утилита является эффективным средством корректировки и улучшения гранично-элементных сеток. Возможность генерации сгущающихся сеток эффективно для оценки точности численного решения.

Рис. 1. Примеры неравномерной гранично-элементной
сетки на конструкциях а) пирамидальной; б) ступенчатой

 

Литература

[1] Вахтин А. А. Программный пакет автоматизированного твердотельного проектирования. // Информатика: проблемы, методология, технологии: Матер. 3 регион. науч.-мет. конф. – Воронеж: ВГУ, 2003. – С. 29-32.

[2] Вахтин А. А., Алейников С. М. Генерация пространственных гранично-элементных сеток для фундаментных конструкций блочного типа.// Тр. 4-й междун. Конф. молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Естественные науки. – Ч. 17. Информатика. Вычислительная техника и управление. – Самара:
СамГТУ, 2003. – С. 11 – 13.

[3] Вахтин А. А. Алгоритмы автоматического моделирования многогранников.// Математическое обеспечение ЭВМ./ Межвуз. сб. науч. тр. – Вып. 4. – Воронеж: ВГУ, 2002. – С. 27 – 31.

[4] Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. – М.: Изд-во «АСВ», 2000. – 754 с.

[5] Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. М.: Из-во БИНОМ, 1997. – 304 с.