ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЕ СЕТКИ В КОНТАКТНЫХ
ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Алейников С.М.*, Вахтин А.А.†, Тюкачев Н.А.†

*Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

†Воронежский государственный университет

E-mail: alasmbkb@box.vsi.ru, wishmaster_79@mail.ru, nik@cs.vsu.ru

Аннотация

В работе описаны алгоритмы, позволяющие генерировать пространственную гранично-элементную сетку на конструкциях, поверхность которых предварительно разбивается на фрагменты, имеющих простейшую топологию. Рассматривается методика построения гранично-элементной сетки путем композиций дискретизированных поверхностей. Описана процедура корректировки сетки добавлением и удалением узлов граничных элементов. Предложенные алгоритмы реализованы в препроцессоре, генерирующем гранично-элементные сетки для решения пространственных контактных задач теории упругости.

Введение

Применение метода граничных элементов для численного моделирования процессов контактного взаимодействия в теории упругости требует нанесения на контактную поверхность гранично-элементной сетки, от качества которой во многом зависит получаемое численное решение [1].

Анализ распространенных в настоящее время программных средств (COSMOS, ЛИРА, FEM_MODELS, SCAD, ANSYS, Z_SOIL, PLAXIS и др.), позволяющих решать контактные задачи теории упругости, показал, что почти все они используют методику конечно-элементного моделирования, а применение метода граничных элементов для решения пространственных контактных задач только начинается.

В виду широкого внедрения метода граничных элементов в практику расчета и проектирования сложных пространственных конструкций авторами разрабатывается гранично-элементный программный комплекс для решения пространственных контактных задач теории упругости с достаточно полной автоматизацией подготовки данных для инженерных расчетов.

1. Гранично-элементное представление
поверхностей конструкций сложной формы

Для всех типов поверхностей принята фрагментальная дискретизация, что соответствует предварительному разбиению поверхности конструкции на граничные макроэлементы [1]. В качестве граничных макроэлементов принимаются поверхностные фрагменты, имеющие простейшую топологию. Как правило, это плоские треугольники и четырехугольники, части цилиндрических, конических и сферических поверхностей. В отдельных случаях используются граничные макроэлементы, уравнения поверхности которых могут быть заданы детерминировано.

Граничные макроэлементы разбиваются на отдельные граничные элементы с автоматической генерацией координат и узлов. Разбиение производится регулярно и не обязательно равномерно. Степень неравномерности разбиения в отдельном граничном макроэлементе по различным направлениям задается параметрически и, по возможности, учитывает предполагаемый характер изменения контактных напряжений. Важным аспектом фрагментальной дискретизации является согласование по числу граничных элементов на линиях сопряжения сложных граничных макроэлементов. Это необходимо для улучшения численного решения и удобства при обработке и интерпретации полученных результатов.

Необходимым требованием к разбиению контактной поверхности рассчитываемой конструкции на граничные элементы является отсутствие пересечений и перекрытий, а точки на сложной поверхности должны быть узлами смежных граничных элементов. Локальная нумерация узлов на каждом элементе берется против часовой стрелки при наблюдении с внешней стороны к контактной поверхности. В общем случае разбиение предполагается смешанным, то есть с одновременным присутствием треугольных и четырехугольных граничных элементов.

1.1. Разбиение плоских граничных макроэлементов

Разбиение четырехугольных граничных макроэлементов на отдельные элементы производится на основе техники изопараметрических элементов [1]. Описание геометрии в плоскости четырехугольного граничного макроэлемента получается с использованием интерполяционных формул. Если на стандартном квадрате берется равномерная или сгущающаяся к границе сетка элементов, то линейное изопараметрическое преобразование переведет их в глобальные граничные элементы без нарушения межэлементной непрерывности и с требуемой регулярной нумерацией узлов и вершин.

Интерполяционные формулы для дискретизации треугольных граничных макроэлементов могут быть получены из интерполяционных формул дискретизации четырехугольных с учетом того, что две смежные вершины сливаются в одну. В результате формируется алгоритм дискретизации треугольных граничных макроэлементов, который весьма просто позволяет добиваться необходимой степени густоты гранично-элементной сетки. При разбиении треугольных макроэлементов в качестве вершины сгущения не рекомендуется брать острые углы, так как при дискретизации может появиться большое количество граничных элементов с общей вершиной, площадь которых близка к нулю.

Дискретизация произвольного плоского макроэлемента сводится к разбиению его на четырехугольные и треугольные фрагменты, которые, в свою очередь, разбиваются на отдельные граничные элементы по предложенным выше алгоритмам.

1.2. Дискретизация осесимметричных поверхностей

Дискретизация осесимметричных граничных макроэлементов осуществляется также с помощью плоских треугольных и четырехугольных граничных элементов путем меридиональных и горизонтальных сечений фрагментов канонической формы (цилиндрических, конических, сферических).

Полная дискретизация поверхности фундаментной конструкции в виде тела вращения получается в результате объединения граничных макроэлементов простейших форм. При достаточно малых размерах граничных элементов, исходя из физических представлений естественно ожидать, что контактное взаимодействие и деформирование конструкции (после аппроксимации поверхности ансамблем плоских граничных элементов) под действием внешней нагрузки будет немногим отличаться от поведения реального объекта, и что приближенное решение контактной задачи будет сходиться к точному. Практические расчеты показывают, что сходимость действительно имеет место, причем достаточно хорошая [1].

2. Построение дискретизированных поверхностей методом композиций

В современных САПР твердотельного проектирования сложные конструкции представляются в виде композиций простых геометрических объектов (рис. 1). Данный метод можно использовать для построения гранично-элементных сеток на поверхностях рассчитываемых конструкций, состоящих из фрагментов, разбиение которых тривиально или уже известно.

 

Рис. 1. Построение геометрического объекта композицией простых:
“–“ – вычитание, “+” – объединение

Поверхности двух геометрических объектов  и , охватывающие пространственные множества  и  соответственно, ограничивают четыре непересекающихся подмножества (рис. 2), нумерация которых задается согласно табл. 1.

 

 

Без ограничения общности будем считать, что . Тогда в общем случае можно рассматривать шестнадцать множеств, которые могут быть получены в результате логических операций над двумя множествами  и . Каждому множеству сопоставляется четырехразрядный двоичный код, где единица в i-м бите означает, что элементы i-го подмножества из табл. 1 принадлежат полученному множеству (табл. 2).

 

 

Следует заметить, что вычисление логических выражений сводится к логическим бинарным операциям над кодами множеств, поэтому для вычислений логических выражений достаточно иметь коды множеств  и .

Каждому граничному элементу геометрических объектов  и , которым соответствуют множества  и , сопоставляется индекс, состоящий из номеров подмножеств (таб. 1), которые они разделяют:  где  – номер подмножества, которое охватывает поверхность геометрического объекта,  – номер внешнего множества (рис. 2). Аналогично каждой паре различных битов в двоичном представлении множества сопоставим индексы  где  – номер единичного бита,  – номер нулевого бита. Полученные индексы граничных элементов совпадают с парой номеров различных битов в двоичном представлении кода операции [2], в случае, когда  требуется изменить направление обхода вершин данного граничного элемента (инверсия). Например, в операции вычитания ( ) различны пары битов 1.0, 1.2 и 1.3, что соответствует граничным элементам с индексами 0.1, 1.2, 1.3, а элементы с индексом 0.1 инвертируются.

Данный алгоритм позволяет без труда вычислять любые операции композиций и выделять граничные элементы, соответствующие искомому решению и учитывать локальную нумерацию вершин граничных элементов, что весьма важно при использовании метода граничных элементов.

3. Корректировка гранично-элементной сетки

Для корректировки гранично-элементных сеток предложены подходы, основанные на алгоритмах автоматического моделирования многогранников [2], считая узлы гранично-элементной сетки вершинами, а граничные элементы – гранями. Корректировка гранично-элементной сетки сводится к добавлению и удалению граничных элементов и узлов сетки. Сложность поставленной задачи заключается в том, что требуется автоматически определять локальную нумерацию узлов добавляемых граничных элементов, чтобы обход вершин грани был против часовой стрелки при наблюдении с внешней стороны поверхности конструкции (ориентация граничных элементов).

3.1. Добавление нового узла гранично-элементной сетки

Добавление нового узла заключается в построении ребер и граней, соединяющих заданную свободную точку с узлами гранично-элементной сетки. Для однозначного определения ориентации добавляемых граничных элементов новая вершина соединяется с вершинами, лежащими на одном граничном элементе.

 

Рис. 3. Корректировка гранично-элементной сетки добавлением узла R

На рис. 3 изображен пример добавления новой вершины R, которая соединяется с вершинами 0, 2, 3. Фиксированная грань разбивается на части с целью выделения и удаления области, образованной вершинами 0, 2, 3. Так как фиксированная грань ориентирована, то ориентацию характеризуют векторы    и  Это способствует заданию ориентации новых граней [0, 2, R], [2, 3, R] и [3, 0, R].

Данный алгоритм дает возможность добавлять не только новые вершины, но и новые граничные элементы, если за свободную точку взять узел гранично-элементной сетки.

3.2. Удаление узла гранично-элементной сетки

Сложность удаления узла гранично-элементной сетки заключается в том, что если у удаляемой вершины имеется четыре или более соседних вершин не лежащих в одной плоскости, то это приводит к неоднозначности в создании новых граней, а значит – к различным вариантам результата удаления. Поэтому разработано не само удаление, а отсечение части многогранника, выделенного четырьмя вершинами. Это позволяет сохранить единственность решения и удалить намеченную вершину за конечное число шагов.

 

Рис. 4. Корректировка гранично-элементной сетки удалением узла 3 относительно трех смежных вершин 0, 1, 2

 

Граничные элементы, на которых лежат два выделенных и удаляемый узел (далее они называются фиксированными узлами), разбиваются. Удаляются граничные элементы, образованные тремя фиксированными узлами. Если фиксированные узлы не лежат на одном граничном элементе, то добавляется новый граничный элемент с учетом ориентации, которая задается соответствующим направлением ребер смежных граничных элементов (на рис. 4 это грань [0, 3, 1], ориентация которой задается векторами  и ).

На рис. 4 приведен пример удаления узла 3 относительно трех смежных вершин 0, 1, 2: вырезаются, а затем удаляются граничные элементы [1, 2, 3] и [0, 3, 2], с учетом ориентации смежных граничных элементов добавляются грани [0, 3, 1] и [0, 1, 2].

3.3. Дополнительные алгоритмы, применяемые
при корректировке гранично-элементной сетки

Помимо основных алгоритмов добавления и удаления узлов могут потребоваться специальные алгоритмы для корректировки гранично-элементной сетки:

·   Изменение пространственного положения узла – изменяются координаты узла, что соответственно влечет за собой изменение пространственного положения граничных элементов, имеющих общим данный узел.

·   Интеграция граничных элементов – объединение нескольких граничных элементов, имеющих общие ребра и лежащих в одной плоскости. Объединение основано на построении нового ориентированного граничного элемента, содержащего все ребра объединенных.

 

Рис. 5. Интеграция граничных элементов:
а) до интеграции; б) после интеграции

 

Алгоритм интеграции следующий: проводится обход вершин в первом граничном элементе с включением их в новый, если встретится общий узел, то обход вершин продолжается на следующем граничном элементе до тех пор, пока не вернемся в вершину, с которой был начат обход. Для начала обхода всегда выбирается вершина, не являющаяся общей, так как если начать алгоритм с общей вершины, то можно получить неверное решение. На рис. 5 рассмотрен пример интеграции граней [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,] и [0´, 1´, 2´, 3´, 4´, 5´, 6´].

Во время редактирования, приходится не только объединять граничные элементы, но и вычитать, если их лицевые стороны противоположны. Данный алгоритм предусматривает и этот случай.

·   Дискретизация граничных элементов – доразбиение некоторых граничных элементов, полученных в результате построений, для чего используются алгоритмы дискретизации плоских граничных макроэлементов (п. 1.1).

·   Проверка гранично-элементной сетки на правильность – на каждом шаге построения требуется проверить отсутствие пересечений и перекрытий граничных элементов, правильность их ориентации, непрерывность поверхности, образованной граничными элементами и другие геометрические свойства, характеризующие корректность действий разработчика. На практике, в зависимости от требований к решаемым контактным задачам, метод проверки гранично-элементной сетки на правильность может содержать геометрические задачи различной сложности.

4. Препроцессор, осуществляющий генерацию гранично-элементой сетки

Разработанные алгоритмы позволяют генерировать гранично-элементные сетки на поверхностях весьма сложной формы. Они характеризуются простой логической структурой и небольшими затратами счетного времени. Существует возможность корректировки, сгущения и перестройки существующих гранично-элементных сеток в процессе подготовки данных для инженерных расчетов и проектирования.

На основе построенных алгоритмов разработан препроцессор, позволяющий эффективно генерировать гранично-элементные сетки для решения пространственных контактных задач [1, 3]. Имеется возможность связи препроцессора с существующими программными комплексами на уровне обмена файлов данных, разрабатывая и подключая соответствующие утилиты. Программная реализация, основанная на СОМ-технологии, дает возможность расширения и модификации данного программного продукта путем разработки новых утилит проектирования.

Перечисленные возможности препроцессора, осуществляющего генерацию пространственных гранично-элементных сеток, позволяют без труда адаптировать разработанный программный продукт для различных типов задач, решаемых методом граничных элементов.

 

Рис. 6. Гранично-элементная сетка на поверхностях фундаментных конструкций: а) щелевой с боковыми уширениями; б) столбчатый с одной ступенью; в) осесимметричный с уширением ствола; г) из цилиндрических составляющих

Для построения гранично-элементной сетки на фундаментных конструкциях, широко распространенных при строительстве промышленных и гражданских объектов [1], используются утилиты генерации гранично-элементной сетки на поверхностях блочного и осесимметричного типов. Некоторые примеры результатов работы данных утилит представлены на рис. 6.

 

Рис. 7. Дискретизированная поверхность фундаментных конструкций, полученных в результате пересечений сваи с ригелями различной формы:
а) прямоугольной; б) треугольной призматической; в) цилиндрической

 

Утилита композиций позволяет получать дискретизацию поверхностей фундаментных конструкций сложной формы. Например, на рис. 7 предложено конструктивное решение повышения несущей способности свайных цилиндрических опор с использованием ригелей различной формы.

 

Для возможности построения поверхностей фундаментных конструкций сложной формы в интерактивном режиме разработана утилита с реализованными методами корректировки гранично-элементной сетки. На рис. 8  приведено пошаговое построение поверхности щелевой крестообразной фундаментной конструкции с наклонными боковыми гранями и ее дискретный аналог.

Разработанные утилиты позволяют создавать сложные поверхности фундаментов и генерировать на них гранично-элементные сетки с заданными свойствами.

Список литературы

1.        Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. – М.: Изд-во «АСВ», 2000. – 754 с.

2.        Тюкачев Н. А., Свиридов Ю. Т. Delphi 5. Создание мультимедийных приложений. – М.: Нолидж, 2000. – 384 с.

3.        Вахтин А. А. Программный пакет автоматизированного твердотельного проектирования // Информатика: проблемы, методология, технологии: Мат. 3-й регион. науч.-мет. конф. – Воронеж: ВГУ, 2003. – С. 29-32.